みなさん、お疲れさまです。算数数量編の第2回は「割合と比」です。中学受験算数の問題の主役と言っても過言ではありません。大手塾に通われていて、算数の成績が伸びない人のほとんどが「割合と比」が苦手です。その意味でも、この章には多くの時間を費やしていただきたいと思います。
 では、始めましょう!




1.割合と比の攻略ポイント


 食塩水の問題を例に、解法のポイントをみてみましょう。

【例題1】20%の食塩水600gに水200gを混ぜると(   )%の食塩水になります。


 食塩水の公式は、「濃さ(%)=\(\large\frac{食塩}{食塩水}\)×100」ですね。

  ステップ1  
 もともとの食塩の量は、600×0.2=120g
   ↓
  ステップ2  
 食塩水の量は、600+200=800g
   ↓
  ステップ3  
 したがって、\(\large\frac{120}{800}\)×100=15%となります。

【例題2】6%の食塩水450gに食塩を(   )g混ぜると10%の食塩水になります。


  ステップ1  
 これは難しい問題ですね。食塩を加える前後で変わらないものは何でしょう。
 そう、「水」ですね。ここに注目です。
   ↓
  ステップ2  
 食塩を加える前の水の量は、450×(1−0.06)=423g
   ↓
  ステップ3  
 すると、食塩を加えた後の水の量も423gです。
 これは食塩を加えた後の100−10=90%ですので、全体量は423÷0.9=470g
 したがって、加えた食塩の量は、470−450=20gとなります。

 このように、割合や比の問題では、「変わらないものに注目していくこと」「もとになる量を出発して考えること」が重要なポイントです。2つのものを比較するときは、変わらないものを基準とする、ということなんです。

 さっそく、相当算からみていきましょう!


2.相当算


 例題をみてみましょう。

【例題3】 A君はある本を読みました。1日目に全体の \(\large\frac{1}{4}\) を読み,2日目に147ページを読んだところ,残りは全体の \(\large\frac{1}{6}\) になりました。この本は全部で何ページありますか。


 注意点は、分数で示されたものが何を基準にしているか、です。全体を基準にしているのか、それとも1日目に読んだ残りを基準していいるのか、です。

  ステップ1  
 問題の \(\large\frac{1}{4}\) も \(\large\frac{1}{6}\) も、基準にしているのが「全体」です。
   ↓
  ステップ2  
 2日目以外のページ数は、全体の \(\large\frac{1}{4}\) + \(\large\frac{1}{6}\) = \(\large\frac{5}{12}\) となりますから、2日目に読んだページ数は、全体の \(\large\frac{7}{12}\) となります。
   ↓
  ステップ3  
 したがって、全体の \(\large\frac{7}{12}\) が147ページですので、総ページ数は、147÷\(\large\frac{7}{12}\) =252ページとなります。

 割合を苦手とする人は「もとにする量」が分からないことが原因です。ここを改善するためには、相当算で「何を基準にするか」という視点を身につける必要があります。
 では、さまざまなパターンを攻略していきましょう!
  ↓↓↓
 1.相当算 擺靄1】
 2.相当算◆擺靄2】
 3.相当算【基本3】
 4.相当算ぁ擺靄4】
 5.相当算ァ擺靄5】
 6.相当算Α敝現1】
 7.相当算А敝現2】
 8.相当算─敝現3】
 9.相当算【応用1】
 10.相当算【応用2】
 11.相当算【応用3】
 12.相当算【発展】


3.割合の導入


 割合をすでに習っている人は飛ばしてかまいません。
 苦手な人は、一応確認!

  ↓↓↓   
 13.割合の3公式
 14.割合の3公式の利用



4.食塩水


 食塩水は、最終的に34と35であつかう「てんびん算」で解けるようにしないといけません。ここでは、まだ比を習っていない人向けの解法で解いています。
  ↓↓↓
 15.食塩水 擺靄1】
 16.食塩水◆擺靄2】
 17.食塩水【基本3】


5.比


 例題をみてみましょう。

【例題4】 はじめ兄と弟の所持金の比は5:4でしたが,兄が700円使ったところ,兄と弟の所持金の比は9:10になりました。はじめ兄の所持金はいくらですか。


 「変わらないもの」に注目です。

  ステップ1 
 弟の所持金が変わっていませんので、前後の比のうち弟の比をそろえます(最小公倍数)。
   5:4 → ㉕:
   9:10 → 押Л
   ↓
  ステップ2 
 すると、㉕−押甅Г砲△燭襪里700円となります。
 したがって、はじめの兄の所持金㉕にあたるのが、700× \(\large\frac{25}{7}\) =2500円となります。

 比の練習を通して、数量の関係をとらえる力をつけましょう。ここでの練習を積んでおくと、図形の相似比や面積比でも力を発揮できますよ!
  ↓↓↓
 18.比 擺靄1】
 19.比◆擺靄2】
 20.比【基本3】
 21.比ぁ擺靄4】
 22.比ァ擺靄5】
 23.比Α擺靄6】
 24.比А敝現1】
 25.比─敝現2】
 26.比【標準3】
 27.比【応用】


6.年令算


 例題をみてみましょう。

【例題5】 現在,父の年令は37才で,2人の子どもの年令は5才と3才です。父の年令が二人の子どもの年令の和の2倍になるのは今から何年後ですか。


 年令算は「マルイチ算」を使うと早く解けます。

  ステップ1 
 ’後に父の年令が二人の子どもの年令の和の2倍になるとおく。
   ↓
  ステップ2 
 式をたてて、解く。
  37+ 瓠5+ 3+ 法2
  37+ 瓠8+◆法2
  37+ 16+
  したがって、にあたるのが21、,砲△燭襪里7となり、7年後が正解となります。

 年令算はいくらでも複雑にできる分野なので、ぜひ、マルイチ算を使えるようにしておきましょう。
  ↓↓↓
 28.年令算 擺靄棔
 29.年令算◆敝現1】
 30.年令算【標準2】
 31.年令算ぁ敝現3】
 32.年令算ァ擶用1】
 33.年令算Α擶用2】



7.食塩水<てんびん算>


 食塩水の問題は、解法にパターンがあり、下記のリンクではすべての出題パターンを網羅しています。
 ここで重要なことは、食塩水を解くときには「てんびん算」を知っておくことです。これを使うことができるようになると、機械的に処理することができるようになります。
 まずは、【基本4】【基本5】で「てんびん算」をマスターしましょう!
  ↓↓↓
 34.食塩水ぁ擺靄4】
 35.食塩水ァ擺靄5】
 36.食塩水Α敝現1】
 37.食塩水А敝現2】
 38.食塩水─敝現3】
 39.食塩水【標準4】
 40.食塩水【標準5】
 41.食塩水【応用1】
 42.食塩水【応用2】
 43.食塩水【発展】


8.売買算


 例題をみてみましょう。

【例題6】 仕入れ値の2割4分増しの定価をつけた品物を1割5分引きで売ったところ,270円の利益がありました。このとき,仕入れ値はいくらですか。


 マルイチ算を使って上手に解きます。

  ステップ1  仕入れ値を,箸く。
   ↓
  ステップ2  
  定価は1.24(←〇つき数字です)
  実際の売値は1.24×(1−0.15)=1.054(←〇つき数字です)
  利益は1.054−1=0.054(←〇つき数字です)
   ↓
  ステップ3  
  0.054(←〇つき数字です)にあたるのが270円なので、仕入れ値,砲△燭襪里蓮270÷0.054=5000円となります。

 売買算は、商売やお金の流れに関心がうすい子どもには難しく感じられる分野です。原価・仕入れ値、定価、実際の売値、利益、損失などの意味を基本から身につけていきましょう。
  ↓↓↓
 44.売買算 擺靄1】
 45.売買算◆擺靄2】
 46.売買算【基本3】
 47.売買算ぁ敝現1】
 48.売買算ァ敝現2】
 49.売買算Α敝現3】
 50.売買算А敝現4】
 51.売買算─敝現5】
 52.売買算【応用1】
 53.売買算【応用2】
 54.売買算【応用3】


9.まとめ


 いかがでしたか。割合と比の分野は、どうしても作業が抽象的になってしまい、自信がつきにくい分野です。ですが、一度解法を身につけてしまうと、いろいろな分野に応用がきき、算数全体が得意になります。
 あきらめずに、まずは標準問題までをできるようにしましょう!



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