四谷大塚 予習シリーズ 算数 徹底解説 5年上第11回 場合の数－ならべ方－クイックラーニング

予習シリーズ5年前期で「場合の数」を学びます。「場合の数」のうち、11回では「ならべ方」を、12回では「組み合わせ方」を扱います。

よく覚えていますね。ただ「場合の数」と「確率」はちょっと違います。

「場合の数」は、例えば、「4人の生徒（A, B, C, Dとします）から3人を選んでチームを作る場合、何通りのチームが作れるか」というように、「どれだけの異なる選び方が存在するか」を数えます。

対して「確率」は、例えば、「4人の生徒（A, B, C, Dとします）がいるとして、彼らがランダムに名前を書いた帽子から自分の名前を引くというゲームをするとき、全員が自分の名前を引く確率はどれくらいか」というように、「特定の事象が起こる確率」を計算します。

はい、そうです。では、さっそく問題を見ていきましょう！

例題1のポイントは「大小2つのさいころを同時にふる」です。このように問われたら、反射的に下のような図を書きましょう。

そうです！ この図を書いてから、条件を確認しましょう。

そうです！では、調べていきましょう。

出た目の合計が4以下とありますから、ここで打ち止めですね。答えは何通りになりますか？

その通りです！ 図を書くといろいろと応用がききますよ。

例題2に進みましょう。

大丈夫ですよ！ 問題に「遠回りせずに」って書いて書いてありますから、進み方は「上」または「右」だけです。

テクニックを覚えようとする人もいますが、あまり感心しません。この問題は、途中の道が通れないというパターンもありますから、途中経過をしっかり理解しましょう。

まず、下の図で、P地点からA地点に行く道順は何通りありますか？

はい、そのとおりです。下の図のように「1＋1＝2(通り)」と求められることを確認してください。

次に、下の図で、P地点からB地点に行く道順は何通りありますか？

おおっ、その通りです！ 下の図のように「1＋2＝3(通り)」と求められることを確認してください。

次に、下の図で、P地点からC地点に行く道順は何通りありますか？

よく見抜きましたね！ ここでも、下の図のように「1＋2＝3(通り)」と求められることを確認してください。

次に、下の図で、P地点からD地点に行く道順は何通りありますか？

惜しいです！ 下の図のように、B地点からの道順もありますよ。

その通りです！ 下の図のように、下の図のように「3＋3＝6(通り)」と求められることを確認してください。

次に、下の図で、P地点からE地点に行く道順は何通りありますか？

そうですね。その通り方を加えて、4通りです。下の図のように「3＋1＝4(通り)」と求められることを確認してください。

さあ、ここで最後です。P地点からQ地点に行く道順は何通りありますか？

正解です！ おめでとうございます！

大事なことは、道順を具体的にイメージしながら解くことです。そうしないと、基本問題や練習問題を解くときに困ってしまいますから。

次は、例題3(1)ですね。

具体的に考えていきましょう！ 下の図で、A地点～B地点を赤い道を通ってC地点に行く方法は何通りありますか？

そうですね！ では、A地点～B地点を黄色い道を通ってC地点に行く方法は何通りありますか？

そうですね！ そうすると、もう答えはでますか？

正解です！ A地点～B地点の道順は3通りで、B地点～C地点の道順は4通りなので、3×4＝12(通り) と求めることができますね。

では、例題3(2)はどうでしょうか。例題3(2)は「行きに通った道を帰りに通らないでもどってくる」という設定です。

まず、(1)でやったように、A地点からC地点に行く道順は、3×4＝12通りですね。

では、ここから引き返します。C地点からB地点にもどる道順は何通りありますか？

その通りです！ 下の図のように考えればいいですよ。

そうすると、答えが出ませんか？

正解です、おめでとうございます！

さあ、ここから入試本番を意識した重要問題です。

ここからは「樹形図」を書いていきましょう。父、母、兄、妹を、それぞれA～Dとしますね。

下の図のように、木の枝のように伸ばしていく図ですよ。

そうです。では、この樹形図を完成させていきましょう！

一番左の人がAのとき、4人のならび方は6通りですね。答えは全部で何通りですか？

正解です！

では、例題4(2)はどうでしょう？

なるほど！ 一番左が父のときのならび方は、2×1×1＝2通りになるのですね。

ずいぶん早く解けましたね！ 樹形図を書いて上手に整理したおかげだと思います。

例題5は整数の問題ですね。まず、例だ5(1)を見てみましょう。

そうですね。では、樹形図を完成させましょう！

注意が必要なのは、0は百の位の数字としてカウントしてはいけないということです。百の数字を0にしちゃうと、その数は3けたではなくて2けたになってしまいますから。

百の位の数字が1のとき、3けたの数字は3×2＝6通りできる、ってことですね。

正解です！

次に、例題5(2)です。これは少々手ごわいですよ。ポイントは「偶数」になるようにならべなければなりません。

いえいえ、この問題も樹形図で解決します。

ところで「偶数」というのはどのような数でしたか？

そうですね。だから、1の位から樹形図を書いていけばいいんです。

いやいや、そうでもないんですよ。1の位が2の場合を書いてみますね。

そうなんですよ。選択肢に0がある場合は注意を必要なんです。樹形図の続きは次のようになりますね。答えは何通りですか？

その通りです。よくできました！

例題6はぬり分けの問題です。まずは(1)の問題をみてみましょう。

はい、その通りです。じゃあ、樹形図を書いていきますね。

その通りです！ スラスラ解けましたね。

じゃあ、例題6(2)はどうでしょう？ (1)とちがって、3色しか使えませんよ。

そんなに怖い顔しなくても…。コツが分かればかんたんですよ！ 下の図のように、はなれた2か所が同じ色になればいいんです。

はなれたところが同じ色になればいいんですけど、ほかにありませんか？

そうです、まだありませんか？

よく見つけましたね。これで、あとは樹形図を書いてオシマイです。赤＝A、青＝B、黄＝C、緑＝Dとして書きましょう。

大正解です！ おめでとうございます。

そう思っていただけるとうれしいです！ 次回は、場合の数のうち「組み合わせ方」をやりますね。

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