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四谷大塚 予習シリーズ 算数 徹底解説 5年上第6回 食塩水の濃さ-アカデミーワン

中学受験 四谷大塚 予習シリーズ 算数 徹底解説 5年上第4回 食塩水の濃さ てんびん算
yamada
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今回は「食塩水の濃さ」の解説です。割合の分野では頻出問題です。

やまだ先生
やまだ先生

難しそう…できるかしら…

つむぎママ
つむぎママ

大丈夫ですよ! 解法は「図で解く方法」と「てんびん図」の2通りで解いていきます。いろいろなパターンに対応できるように、両方の解き方で解けるようにしていきましょう!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題1

食塩水の濃さー食塩水の3公式

まず、「食塩水の3公式」を確認しましょう。

やまだ先生
やまだ先生

「割合の利用」のところでやったのと同じね。

つむぎママ
つむぎママ

そうです! 食塩水の重さが「もとになる量」、食塩の重さが「比べられる量」、食塩水の濃さが「割合」にあたります。

この公式は下の図のようにして覚えるといいですよ!

やまだ先生
やまだ先生

丸い円の中にTの字を書いて、赤色のところに「食塩の重さ」、黄色のところに「濃さ(濃度)」、青のところに「食塩水の重さ」を書けばいいのね。

つむぎママ
つむぎママ

そうです!「塩の水」というゴロの順に数値を書き込むといいですよ!

あと、この3公式にはもう一つ足しておくといいものがあります。

やまだ先生
やまだ先生

食塩水の重さは、$\dfrac{水の重さ}{水の割合}$ でも求められるということ?

つむぎママ
つむぎママ

そうです! 「割合の利用」のところで、「~の残り」ってやりましたよね。それと同じですよ。

やまだ先生
やまだ先生

食塩水の濃さー例題1(1)の解き方

さっそく、例題1(1)を解いてみましょう。

やまだ先生
やまだ先生

これはカンタンだわ。濃さ=$\dfrac{食塩の重さ}{食塩水の割合}$ だから、25÷125=0.2となって、答えはパーセントに直して、20%ね。

つむぎママ
つむぎママ

正解です! では次の問題に進みましょう。

やまだ先生
やまだ先生

食塩水の濃さー例題1(2)の解き方

これもカンタンだわ。食塩の重さ=食塩水×濃さ だから、300×0.08=24gね。

つむぎママ
つむぎママ

正解です! どんどん先に進みましょう。

やまだ先生
やまだ先生

食塩水の濃さー例題1(3)の解き方

これもカンタンだわ。食塩水の重さ=食塩の重さ÷濃さ だから、30÷0.12=250gね。

つむぎママ
つむぎママ

惜しいです! 計算が一段落したら、必ず問題文にもどってください。

やまだ先生
やまだ先生

そうか! 問題文では「食塩水の重さ」ではなく「水の重さ」を聞いてるわ。答えは、250-30=220gね。

つむぎママ
つむぎママ

セーフ!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題2

例題2の解き方

さて、ここからが本番ですよ。まずは、オーソドックスな解き方でやります。その後で「てんびん算」という解法でやります。

「てんびん算」はとても便利な解き方なので、ぜひ、身につけてくださいね。

まず、例題2(1)です。

下の図を書いてください。ここで注意しなくてはならないことは、計算できるところはすぐに計算する、ということです。

「18%の食塩水200g」と与えられたら、ふくまれる食塩は、200×0.18=36gですね。

やまだ先生
やまだ先生

さらに、問題文の情報を書き加えていきましょう。

やまだ先生
やまだ先生

ここまできたら、答えを出しましょう。

やまだ先生
やまだ先生

なるほど、食塩水全体の重さ増えるのね。答えは、36÷240×100=15%だわ。

つむぎママ
つむぎママ

正解です! スイスイ解いてますね。例題2(2)に進みましょう。

やまだ先生
やまだ先生

まず、分かるところは計算しましょう。初めの食塩水には、250×0.08=20gの食塩が入っていますね。

そして、問題文の残りの情報を書き加えます。分かっていないところはとりあえず□にしておきましょう。

やまだ先生
やまだ先生

これらを混ぜたら、5%の食塩水になるのですね。

ここでのポイントは、水を加えただけなので、「水を混ぜる前の食塩水」と「水を混ぜた後の食塩水」の中に入っているそれぞれの食塩の量が同じだ、ということです。

これも図に書き込みましょう!

やまだ先生
やまだ先生

なるほど! そうすると、水を混ぜた後の食塩水の量が、20÷0.05=400gになるわ。

「水を混ぜる前の食塩水の重さ」と「水を混ぜた後の食塩水の重さ」の差が「加えた水の量」になるのね。

つむぎママ
つむぎママ

よくできました! 400-250=150g が正解ですね。

例題2(3)に進みましょう! しつこいようですが、計算できるところは必ず先に計算しましょう

3%の食塩水400gには、12gの食塩が入っていますね。

やまだ先生
やまだ先生

この問題は「水が蒸発した」となっていますが、「水が蒸発した後の食塩水に水を加えて、元の食塩水にもどした」、つまり、食塩水に水を加えた問題とも言えますね。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、何が分かりますか?

やまだ先生
やまだ先生

水の量だけが変わっているから、食塩の量は変わっていないということね!

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! そうすると、(1)や(2)と同じように解けますね。

やまだ先生
やまだ先生

400-12÷0.05=160gが正解ね。

つむぎママ
つむぎママ

おめでとうございます!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題3

例題3の解き方

例題3は、例題2と違って、食塩を加える問題ですね。さっそく見ていきましょう!

まず、4%の食塩水300gには、300×0.04=12gの食塩が含まれていることを書き込みましょう。

やまだ先生
やまだ先生

これに食塩を20g加えますね。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、食塩も、食塩水(全体)も20gずつ重さが増えます。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、32÷320×100=10%ね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! では(2)を見てみましょう。

図にすると、下のようになりますね。

やまだ先生
やまだ先生

どこから手をつけていいか、わからないわ・・・

つむぎママ
つむぎママ

そうなんです、それでいいんです。この問題では、上の図では解けないんですよ。

初めにご説明した下の図を見てください。

やまだ先生
やまだ先生

食塩水の重さは、$\dfrac{水の重さ}{水の割合}$ でも求められるということね。

つむぎママ
つむぎママ

そうです! ですから、水の量に注目して、下の図のように書き直すんですね。

つまり、「食塩の量を水の量」、「食塩の割合(濃さ)を水の割合」に直すんです。

やまだ先生
やまだ先生

なるほど! そうすると、食塩を加えた後の食塩水の量が、132÷0.8=165gになるから、加えた食塩の重さは、165-150=15gになるわ。

つむぎママ
つむぎママ

大正解です! おめでとうございます。

やまだ先生
やまだ先生

例題2と例題3を「てんびん算」で解く

例題2をてんびん算で解く

では、例題2をてんびん算で解いてみましょう。

てんびん算は、初めは難しく感じますが、例題2から例題7までをそれぞれ3回ずつ練習すると、スラスラ解けるようになります。

食塩水の計算でとてつもなく強力な武器になりますので、がんばってください!

まずは、例題2(1)です。ステップは3つです。まず下の図をノートに写してください。

やまだ先生
やまだ先生

そうしたら、問題で与えられた数値のうち、食塩水の濃さを上に、食塩水の重さを下に書き写します。水を加えたときは、その濃さを0%とします

やまだ先生
やまだ先生

次に、食塩水の重さをカンタンな整数の比に直します。

やまだ先生
やまだ先生

そうしたら、食塩水の重さの比を交差して上段に写します。

やまだ先生
やまだ先生

ここで、上段の濃さについてみると、18-0=18%にあたるのが 156 になります。

やまだ先生
やまだ先生

6=18%ですから、両辺を6で割って、1=3%です。

上段の濃さについてみると、左から右に向かってうすくなっていますから、求める濃さ(真ん中の支点のところ)は、18-3=15%になります。

やまだ先生
やまだ先生

計算はカンタンそうね。でも、できるようになるかしら。

つむぎママ
つむぎママ

大丈夫です、初めはだれでも不安です。まずは、この例題を自分でやり直してみてから、類題を同じように解いてみましょう。

次は、例題2(2)です。さっそく、下のてんびん図を書いてください。

やまだ先生
やまだ先生

今度は、濃さの比を求めます。支点から左側は8-5=3、支点から右側は5-0=5となります。

やまだ先生
やまだ先生

上段の比を求めたら、交差して下の重さの比とします。

やまだ先生
やまだ先生

そうか! ⑤=250gだから、①=50gね。答えは③にあたる重さだから、150gよ。

つむぎママ
つむぎママ

正解です! 少しずつ慣れてきましたね。例題2(3)もやってみましょう。水を蒸発させるパターンですね。

このパターンでは、(蒸発した水)+(残った食塩水)=(元の食塩水)と考えて、てんびん図の真ん中が「元の食塩水」になります。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、例題2(2)と同じようにいけますね。

やまだ先生
やまだ先生

上段の濃さの比を交差させて、重さの比にします。

やまだ先生
やまだ先生

左も右も重さが分かっていないから、答えがでないわ。

つむぎママ
つむぎママ

いえいえ、左と右を混ぜたものが真ん中になりますから、⑤=400gになりますよ。

やまだ先生
やまだ先生

なるほど。そうすれば、①=80gだから、蒸発させた水の重さは、80×2=160gね。

つむぎママ
つむぎママ

よくできました!

やまだ先生
やまだ先生

例題3をてんびん算で解く

例題3は、食塩を加えるパターンですね。例題2と同じように、例題3(1)のてんびん図を書きましょう。

食塩を加える場合、その濃さは100%とおきます

やまだ先生
やまだ先生

重さの比をカンタンな整数の比に直しましょう。

やまだ先生
やまだ先生

そして、重さの比を交差させて、濃さの比にします。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、$\fbox{16}$ にあたるのが何%になりますか?

やまだ先生
やまだ先生

100-4=96%ね!

つむぎママ
つむぎママ

そうです! 16=96%だから、1=6%になります。

やまだ先生
やまだ先生

図の上段では、左から右へ濃くなっていくから、答えは、4+6=10%ね!

つむぎママ
つむぎママ

大正解です! では、例題3(2)もやっちゃいましょう。

やまだ先生
やまだ先生

濃さのところの比が出ますね。

やまだ先生
やまだ先生

濃さの比はカンタンな整数の比に直しましょう。

やまだ先生
やまだ先生

濃さの比を交差して、重さの比にします。

やまだ先生
やまだ先生

⑩=150gだから、①=15g。答えは15gね!

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! てんびん算を使うと、混ぜ合わせるいろいろなパターンの問題を、同じやり方で解けるようになります。

【例題4】以降も、てんびん算のやりかたを紹介しますね!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題4

例題4の解き方

まず、この作業を図に表してみましょう。

やまだ先生
やまだ先生

「最後にできた食塩水」は、捨てた食塩水と同じ量の水を加えましたから、食塩水の量は600gですね。ここで何が分かりますか?

やまだ先生
やまだ先生

最後にできた食塩水に入っている食塩の量は、600×0.08=48gね!

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! そうすると、次に何が分かりますか?

やまだ先生
やまだ先生

捨てた食塩水に含まれる食塩の量だわ。90-48=42gね!

つむぎママ
つむぎママ

そうすると、捨てた食塩水の量は、42÷0.15=280gになるわ! 図にしてから、分かるところからどんどん埋めていけばいいのね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです!

やまだ先生
やまだ先生

例題4をてんびん算と解く

捨てた後の食塩水に、水を加えたところをてんびん図で表すと次のようになります。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、濃さの比が出るのね!

つむぎママ
つむぎママ

この濃さの比を交差して、重さの比が求まるわ。

つむぎママ
つむぎママ

そすうると、⑧+⑦=⑮が600gね。

つむぎママ
つむぎママ

⑮=600だから、①=40。加えた水の量は⑦だから、40×7=280gね。加えた水の量は捨てた水の量と同じだから、答えは280gが正解だわ。

つむぎママ
つむぎママ

おおっ、すごすぎる! 一人で解けましたね。

やまだ先生
やまだ先生

てんびん算だと、機械的に答えがでるから、とてもラクだわ。

つむぎママ
つむぎママ

例題4のズルい解き方

実はこの問題、有名な問題なんです。次のようにすれば、一発で答えが出ますよ。

600×$\dfrac{15-8}{15}$=280g

なぜ、この式で答えがでるのか、考えてみてくださいね。

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題5

例題5の解き方

例題5(1)を見てみましょう。

やまだ先生
やまだ先生

くり返しになってしまいますが、計算できるところは、後回しにせず、すぐに計算しましょう!

「それぞれの食塩の量とその和」と「食塩水の量の和」が求まりますね。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、答えは、35÷500×100で、7%ね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです、おめでとうございます!では、例題5(2)もやっちゃいましょう。

問題文を図で整理すると、下の図のようになりますね。

やまだ先生
やまだ先生

計算できるところを埋めると、下の図のようになるわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうすると、初めの食塩水に入っていた食塩は、21-5=16gね。だから、初めの食塩水の濃さは、16÷200×100=8%になるわ。

つむぎママ
つむぎママ

大正解です! 解くのがとても早くなってますね、すごいです。

やまだ先生
やまだ先生

例題5をてんびん算で解く

では、【例題5】もてんびん算で解いてみましょうてんびん図を書くと、重さの比が求まりますね。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、濃さの比も出るわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうすると、325は何%分になりますか?

やまだ先生
やまだ先生

9-4=5%ね。

つむぎママ
つむぎママ

5=5%だから、1=1%ね。上の段は、左から右へ濃くなっているから、正解は、4+3×1=7%ね。

つむぎママ
つむぎママ

正解です! この調子で例題5(2)に進みましょう。

やまだ先生
やまだ先生

そうすると、濃さの比も出るわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうすると、2は何%にあたりますか?

やまだ先生
やまだ先生

7-5=2%ね!

つむぎママ
つむぎママ

2=2%だから、1=1%ね。図の上段では、右から左へ向かって濃くなっているから、答えは、7+1=8%ね!

つむぎママ
つむぎママ

よくできました! ずいぶん、慣れてきましたね!!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題6

例題6(1) てんびん算による解法

【例題6】を予習シリーズでは面積図で解いていますが、実はこの面積図を横にすると、てんびん図になります。

なので、ここでも引き続き、てんびん算で解きますね。

やまだ先生
やまだ先生

まず、濃さの比が求まるわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうしたら、濃さの比を交差させて、重さの比が出るのね。

つむぎママ
つむぎママ

おっと、その前に、濃さの比をカンタンな整数の比に直しておきましょう。

やまだ先生
やまだ先生

そうだったわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうしたら、重さの比が出ますね。

やまだ先生
やまだ先生

③=300gだから、①=100gね。答えは、100×2=200gだわ。

つむぎママ
つむぎママ

大正解です!

やまだ先生
やまだ先生

例題6(2) てんびん算による解法

もうわかったわ。濃さの比が、5:4ね!

つむぎママ
つむぎママ

そうしたら、重さの比が4:5になるわ。

つむぎママ
つむぎママ

すると、④+⑤=⑨にあたるのが900g。

つむぎママ
つむぎママ

①=100gだから、15%の食塩水の量は、100×4=400gよ。

つむぎママ
つむぎママ

お見事です! 私の出番は無かったですね。

やまだ先生
やまだ先生

てんびん算を使うと、全部のパターンが同じ方法で解けて、安心だわ。

つむぎママ
つむぎママ

予習シリーズ算数 食塩水の濃さ 例題7

てんびん算を使えば難しくありません。落ち着いて解きましょう。

まずは、問題文の赤字のところをてんびん図で表しましょう。

やまだ先生
やまだ先生

重さの比が1:3だから、濃さの比は3:1ね。

つむぎママ
つむぎママ

そすると、314にあたるのが、20-4=16%。4=16%だから、1=4%ね。

つむぎママ
つむぎママ

これで、容器Aの50gを容器Bに入れたときの濃さが、4+3×4=16%になったわ。

つむぎママ
つむぎママ

では次に、下の問題文の赤字のところに注目してください。

やまだ先生
やまだ先生

なるほど! この部分もてんびん図にすることができるわ。

つむぎママ
つむぎママ

すると、濃さの比が4:8ね。

つむぎママ
つむぎママ

忘れずに、濃さの比を簡単な整数の比に直すわ。

つむぎママ
つむぎママ

さすがです!

やまだ先生
やまだ先生

そすると、重さの比が2:1ね。

つむぎママ
つむぎママ

すると、容器Bから容器Aに移した食塩水は、50gの半分で25gになるのね。

つむぎママ
つむぎママ

ご名答です!

やまだ先生
やまだ先生

初めは、てんびん算って使えるかどうか心配だったけど、使っていくうちに慣れるものなのね。

つむぎママ
つむぎママ

そうです。予習シリーズの【例題2】~【例題7】を、てんびん算で3回やると、身につける子どもがほとんどです。早稲田アカデミーでは、てんびん算で教える先生が多いですね。

嫌がる子どもがいたら、大人がやさしく付き添って助けてあげてください。

算数は、いろいろな解き方で試行錯誤していくうちに学力が伸びる科目です。暗記しようとせず、いろいろな解き方にチャレンジしていきましょう!

やまだ先生
やまだ先生

分かったわ。今日もありがとうございました。

つむぎママ
つむぎママ

こちらこそ、いつもお付き合いいただいて、ありがとうございます!ご質問があったら、下のフォームからお願いします。

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やまだ先生
やまだ先生


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    山田正(やまだ・ただし)
    山田正(やまだ・ただし)
    中学受験プロ講師・30年以上やってます
    YouTube「クイックラーニング」、学習塾「アカデミーワン」をやっています。中学受験で疑問や不安を抱えている方に、中学受験の本質にさかのぼって、ゆるぎない受験対策ができるようにお手伝いしています。
    【著書】「中学受験は親で決まる」(2008年)「優秀な子どもが中学受験で失敗する9の理由」(2010年)
    【AERA Kids取材】「9歳10歳の危機」(1012年夏号)、「学力の差は夏で決まる」(2013年秋号)
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