四谷大塚 予習シリーズ 算数 徹底解説 5年上第2回 いろいろな図形の面積－クイックラーニング

今回は、予習シリーズ算数の小５前期、「いろいろな図形の面積」を見ていきますね。

少しずつ、段階をふんでいけば大丈夫ですよ！ まずは、面積の公式から確認しましょう！

長方形の面積は「たて×横」ですね！

ですね。では、平行四辺形の面積はどのように求めますか？

長方形の一部分である直角三角形（斜線部分）を左に動かしますね。

そうすると、平行四辺形ができます。さて、この平行四辺形の面積はどのように求めますか？

その通りです！ くれぐれも、「赤の×」（直角三角形の斜辺）の部分を「高さ」にしないことが大事ですね。「赤の×」のところは、底辺と直角になっていませんから。

次に、台形の面積はどのように求めることができますか？

ポイントは、元の台形をコピーして、180°回転させて、元の台形につないでみることです。

そうですね！台形の面積は次のように求まります。

(上底＋下底)×高さ×$\dfrac{1}{2}$

次にひし形の面積をみていきましょう。

まず、ひし形の2本の対角線が直角に交わっていることに注意しましょう。これを使えば、ひし形の面積を求めることができます。

おしいです！「対角線×対角線」をすると、もとのひし形の面積の2倍になってしまいます。

すばらしいです！

では面積の確認はここまでにして、次は例題に進みましょう。

下の図で、ぬられている図形の面積を求めます。この図形は何ですか？

その通りです！ そうると、面積は…

そうです！では（2）を見てみましょう。ここでも、ぬられた図形の面積を求めます。

下の図で、ぬられている図形の面積を求めます。この図形はどのようにすれば求まりますか？

この四角形は、どの公式にもあてはまりそうにないんですけど、2つの直角（赤の部分）に注目して、2つの三角形に分けて求めることができます。

このように、青と黄色の三角形に分けました。それぞれの面積を求めることはできますか？

そうですね。じゃぁ、下の図のように2つに分けたらどうでしょう？

そうです！ 底辺と高さは垂直の関係にあるってことが重要ですね。

できました！ それでは、例題2に進みましょう！ 円がからんだ図形のぬられた部分の面積を求めます。

おうぎ形の面積はどのようにして求めますか？

そうです。半径×半径×3.14×$\dfrac{中心角}{360}$ で求めることができます。

例題2（1）は、おうぎ形の中に直線を1本引いた図で、中の三角形は正三角形です。ぬられた部分の面積を求めましょう。

中心角の大きさと、半径の長さは分かりますか？

例題2（2）は、正方形と半円を組み合わせた図形の中に直線を1本引いたものです。点Mが半円の弧の真ん中であるとき、ぬられた面積を求めます。

確かに難しいですね。ヒントを出しますね。

その通りです！

正解です、おつかれさまでした！

さあ、次は例題3です。下の図は、長方形の中に三角形をかいたものです。色のついた部分の面積を求めましょう。

上半分の三角形と、下半分の三角形に分けるといいですよ。

上半分の三角形の面積は、黄色の直角三角形の面積と同じになります。なぜかというと、底辺と高さの長さが同じになるからです。

同じようにして、下半分の三角形の面積は赤の直角三角形の面積と同じになります。

このように、面積を変えずに三角形の形を変えることを「等積変形」といいます。

そうすると、求める図形の面積は、上の右の黄色い三角形の面積と同じになるんですね。

もう一つ、別の方法でやってみましょう。

問題に、たての点線を入れました。これを利用することでも解くことができます。

そうです。下の図を見てください。

下半分だけ等積変形します。そうすると…

ご名答です！

算数の勉強で大事なことですが、カンタンな問題を何回も解いても、算数の実力は上がりません。

算数の問題を解くときは、ぜひ、いろいろな解き方を考えて欲しいんです。そうすることによって、いろいろな見方が身につくんですね。

算数の力を伸ばす勉強法は「5回解くより、5通りで解け」です！

例題4（1）です。下の図は、対角線の長さが20cmの正方形です。この正方形の面積を求めましょう。

いい質問ですね～。実は、この正方形の1辺の長さは、中学生でやる平方根を使わないと表すことができません。

ですが、見方を変えると、面積は求めることができるんです。

下の図のように、外側に大きな正方形を書くとどうですか？

では、例題4（1）を使って、例題4（2）を解いてみましょう。

下の図は、（1）の正方形の中に四分円を書いたものです。ぬられた部分の面積を求めましょう。

おうぎ形の面積を求める公式は何でしたっけ？

ですね。ならば、半径の長さが分からなくても、「半径×半径」の値が分かっていれば、面積を求めることができますよ。

できましたね！

【例題5】に入る前に、ここでのテーマである「三角形の合同」についてみておきましょう。

そうです！ 三角形の合同条件は、3つありますよ。

三角形の合同条件は、解説動画と練習問題がありますので、下の動画で学習してください。

三角形の合同条件は、少し説明したくらいでは小学生の頭には残りませんので、ぜひ、保護者の方と一緒に動画を見てください。

では、例題5（1）をみてみましょう。下の図は、正三角形ABCの中に直線を2本引いたもので、BDとCEの長さが等しくなっています。

「正三角形」と「BD＝CE」というのがポイントですね。分かっていることは、図に書き足しましょう。

このときに、三角形ABDと合同になる三角形はどれですか、という問題ですね。

ただし、このように「三角形ABDと合同になる三角形はどれですか」という問題は出題されることはありません。

本番の試験では、いきなり「角アの大きさは何度ですか？」と問われるはずなので、そのスタイルで考えましょう。

そうですよね。でも、角アを求めるには、どの角の大きさが分かればいいか、を考えればいいですね。

そうです、その通りです。ここで、角イが24°じゃないかな～、ってひらめくとすぐに答えがでますね。

そこで、「三角形の合同」の話になるんです。下の図を見てください。

左の青色の三角形と右の赤色の三角形が合同になれば、角イは24°ってわかるんですけど、この二つの三角形は合同になりますか？

じゃぁ、下の図のように、分かっていることを図に書き加えるとどうでしょう？

そうですね！ そこまで言えれば、自信をもって解答できますね。

（1）で合同になる三角形が見つかれば、（2）はすぐに答えがでますね。

大正解です、おめでとうございます！

いよいよ最後、例題6です。あと少しですから、もうひとふん張りしましょう！

下の図は、おうぎ形の中に直線を3本引いたものです。ぬられた部分の面積を求めましょう。

これは有名すぎる問題ですね。「面積のうめ替え」を利用することで、ぬられら部分の図形を単純な図形にすることができますよ。

下の図を見てください。求めることができる角度や辺の長さを書き込みました。左と右の直角三角形はどのような関係にありますか？

よく気づきましたね！ この2つの三角形が合同だから、面積も同じになります。

そうすると、下の図で、この2つの三角形が重なっている部分の面積は同じなので、その面積を引いた残りの部分、つまり、★印をつけた黄色の三角形と赤の四角形の面積が同じになりますね。

その通りです！ 同じ面積をうめ替えると、下の図で、左の黄色の図形（おうぎ形）の面積と、右の青色の図形の面積が同じになるわけです。

正解です、おめでとうございます！ 今回もよくがんばりましたね。

「予習シリーズ算数 小5前期 第2回 図形の面積」の例題を解説しました。

ただ、他の塾がやっている重要問題がいくつか抜けています。具体的には、次の内容です。

• 面積ではありませんが、「多角形の内角と外角」
• 30°、60°、90℃の定規の辺の比を使った面積の求め方
• いろいろな円の面積の求め方

これらの内容は、下の動画で解説しています。プリントは下からダウンロードして、28～29ページ、53～56ページを見てくださいね。（このプリントは「進学塾アカデミーワン」のオリジナルプリントです。全問題に動画解説をつけていて、塾生はこれで学んでいます。）

でも、このような内容の問題が実際に入試で多く出題されていますから、いずれやらなければいけませんよ。

はい、お願いします！ 分からないところがあったら、下のフォームから質問してくださいね。