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四谷大塚 予習シリーズ 算数 徹底解説 5年上第9回 円の回転・転がり移動-アカデミーワン

中学受験 四谷大塚 予習シリーズ 算数 徹底解説 5年上第9回 円の回転・転がり移動
yamada
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前回は「多角形」の回転・転がり移動でしたね。今回は「円」の回転・転がり移動です。

やまだ先生
やまだ先生

前回は「自分の手を使って、途中の過程を書く」ことがポイントだったわ。今回も同じなの?

つむぎママ
つむぎママ

はい、その通りです。予習シリーズは最後の結果だけが書かれた図をのせていますが、その図を覚えたとしても応用がききません。途中の図をしっかり書いていきましょう!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 円の回転・転がり移動 例題1

まず、例題1です。下の図1のように、直線ABを直径とする半円を、点Aを中心にして反時計回りに30度回転させました。

このとき、弧ABが動いたあとの図形を表したものが図2のぬられた部分です。このぬられた部分の面積は何cm2になりますか。

やまだ先生
やまだ先生

初めて見る形だわ…。どう解けばいいのかしら?

つむぎママ
つむぎママ

初めて見ると難しいですよね。下の図3と比べるとどうですか?

やまだ先生
やまだ先生

分かったわ。黄色の半円の面積と緑のおうぎ形の面積をたして、そこから赤の半円の面積を引けばいいのね!

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! 気づくのが早かったですね。黄色の半円と赤の半円の面積は同じですから、結局、緑のおうぎ形の面積を求めればそれが答えになります。

やまだ先生
やまだ先生

6×6×$\dfrac{30}{360}$×3.14=9.42(cm2)が答えね。

つむぎママ
つむぎママ

はい、その通りです。では、30度ではなく、90°回転させたらどうなりますか?

やまだ先生
やまだ先生

これも同じことね。答えは、6×6×$\dfrac{90}{360}$×3.14=28.26(cm2)ね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです。カンペキに理解しましたね!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 円の回転・転がり移動 例題2

例題2(1)の解き方

例題2に進みましょう。下の図のように、半径1cmの円が、長方形のまわりにそって転がりながら1周してもとの位置にもどります。このとき、円の中心Oが動いたあとの線の長さは何cmですか。

やまだ先生
やまだ先生

この問題を解くときには、ちょっとしたコツがあります。

円が1周するあいだに、「転がるところ」と「円周上の1点を中心に回転するところ」があります。この2つの部分の境目に、下の図のような補助線を書きます

やまだ先生
やまだ先生

このような補助線を引いたあと、円をどんどん転がしていきます。

やまだ先生
やまだ先生

なるほど。長方形の直線部分では円は転がっていて、長方形の頂点のところで円は回転しているのね。

つむぎママ
つむぎママ

よく気づきました、その通りです。では、最後まで動かしてみましょう。

やまだ先生
やまだ先生

さあ、では(1)です。円の中心Oが動いたあとの線の長さは何cmになりますか?

やまだ先生
やまだ先生

直線部分と曲線部分を合わせたものになるのね!

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! 上の図で、赤い曲線を全部つなげると円になることに気づけば、かんたんな式がたちますね。

やまだ先生
やまだ先生

1×2×3.14+20=26.28(cm)が答えね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです!

やまだ先生
やまだ先生

例題2(2)の解き方

次に(2)です。円が動いたあとの図形の面積は何cm2になりますか?

やまだ先生
やまだ先生

もう分かったわ。4つのおうぎ形の面積と4つの長方形の面積の和になるわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうです! 4つのおうぎ形をつなぎ合わせると1つの円になりますから、答えは次のようになります。

2×2×3.14+2×20=52.56(cm2

やまだ先生
やまだ先生

1×1×3.14+2×20にしちゃったわ。

つむぎママ
つむぎママ

よくあるまちがいですよ。(1)と(2)では、円の半径の長さがちがうところに注意が必要ですね

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 円の回転・転がり移動 例題3

例題3(1)の解き方

例題3に進みましょう。下の図のように、半径2cmの円が、四分円のまわりにそって転がりながら1周してもとの位置にもどります。このとき、円の中心Oが動いたあとの線の長さは何cmですか。

やまだ先生
やまだ先生

例題2で使ったコツをここでも使いましょう。

円が1周するあいだに、「転がるところ」と「円周上の1点を中心に回転するところ」があります。この2つの部分の境目に、下の図のような補助線を書きます

やまだ先生
やまだ先生

このような補助線を引いたあと、円をどんどん転がしていきます。

やまだ先生
やまだ先生

さあ、では(1)です。円の中心Oが動いたあとの線の長さは何cmになりますか?

やまだ先生
やまだ先生

4つのおうぎ形の弧の長さと、2つの直線の長さの和になるのね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです! 赤の弧の長さと、青の弧の長さ×3と、黄色の長さ×2をたせばいいんですね。このとき、おうぎ形の半径の長さに注意が必要です。

やまだ先生
やまだ先生

今度はまちがえないわ。

16×$\dfrac{1}{4}$×3.14+4×$\dfrac{3}{4}$×3.14+12

=(4+3)×3.14+12
=33.98(cm)

これが答えね。

つむぎママ
つむぎママ

ご名答です!

やまだ先生
やまだ先生

例題3(2)の解き方

次に(2)です。円が動いたあとの図形の面積は何cm2になりますか?

やまだ先生
やまだ先生

おうぎ形の部分と長方形の部分は分かるわ。でも、右上の曲がっているところは難しいわ。

つむぎママ
つむぎママ

そうですよね。下の図を見てください。

やまだ先生
やまだ先生

あっ、なるほど。黄色の部分は、大きいおうぎ形の面積から小さいおうぎ形の面積を引けばいいのね。すると、次のように求まるわ。

10×10×$\dfrac{1}{4}$×3.14-6×6×$\dfrac{1}{4}$×3.14+4×4×$\dfrac{3}{4}$×3.14+48

=(25-9+12)×3.14+48
=135.92(cm2

つむぎママ
つむぎママ

大正解です、おめでとうございます!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 円の回転・転がり移動 例題4

例題4(1)の解き方

例題4に進みましょう。まずは(1)です。

下の図のように、半径2cmの円が、折れ線にそって、アの位置からイの位置まで転がります。このとき、円の中心Oが動いたあとの線の長さは何cmですか。

やまだ先生
やまだ先生

例題2や、例題3で使ったコツをここでも使いましょう。

円が1周するあいだに、「転がるところ」と「円周上の1点を中心に回転するところ」があります。この2つの部分の境目に、下の図のような補助線を書きます

やまだ先生
やまだ先生

このような補助線を引いたあと、円をどんどん転がしていきます。ここでは、中心Oが動くようすも同時に書いていきますよ(赤い線)

やまだ先生
やまだ先生

これはカンタンね。次のようにして答えが出るわ。

2+2+4×3.14×$\dfrac{1}{4}$+4=11.14(cm)

つむぎママ
つむぎママ

そうです、正解です!

やまだ先生
やまだ先生

例題4(2)の解き方

次に(2)です。円が動いたあとの図形の面積は何cm2になりますか?

やまだ先生
やまだ先生

円をどんどん転がしていきますよ。

やまだ先生
やまだ先生

さあ、ここまでで、円が動いたあとの図形はどの部分になりますか?

やまだ先生
やまだ先生

下の図の黄色と青色の部分じゃないかしら。

つむぎママ
つむぎママ

惜しいです。右下の赤色の部分は通っていないんです。

やまだ先生
やまだ先生

言われてみればそうだわ!

つむぎママ
つむぎママ

では、先に進めますね。

やまだ先生
やまだ先生

これで求められそうですね。

やまだ先生
やまだ先生

そうね。両はしの半円はくっつけて1つの円にできるわ。すると、下の式で答えを求めることができるわね。

2×2×3.14+4×4×3.14×$\dfrac{1}{4}$+32-(2×2-2×2×3.14×$\dfrac{1}{4}$)

=57.12-0.86

=56.26(cm2

つむぎママ
つむぎママ

よくできました、さすがです!

やまだ先生
やまだ先生

予習シリーズ算数 円の回転・転がり移動 例題5

例題5の解き方

これで最後。例題5に進みましょう。

下の図のように、点A、Bをそれぞれ中心とする半径3cmの円が、くっついています。この2つの円のまわりにそって、点Oを中心とする半径3cmの円が転がりながら1周してもとの位置にもどります。このとき、点Oが動いたあとの線の長さは何cmですか。

やまだ先生
やまだ先生

この問題も、途中をしっかり書くことが大事ね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです。さっそく、動かしてみましょう。点A、点Bを中心とする円の真ん中から動かし始めますね。

やまだ先生
やまだ先生

このあと、どのように動きますか?これまでは、点Aを中心にして動いていましたが、ここから変化します。

やまだ先生
やまだ先生

ここからは、点Bを中心にして動くのね!

つむぎママ
つむぎママ

すばらしいです、その通りです! 勉強して慣れてくると、先を読めるようになりますね。

やまだ先生
やまだ先生

分かったわ! 中心角240°のおうぎ形の弧の長さの2倍、ってことね。

だから、6×2×3.14×$\dfrac{240}{360}$×2=50.24(cm)が正解ね。

つむぎママ
つむぎママ

その通りです!

やまだ先生
やまだ先生

途中の経過をしっかり書くと、自信をもって答えられるわ。

つむぎママ
つむぎママ

例題5は、実は別の観点で出題される

一つ注意なのは、例題5はこのまま入試で出題されることはありません。実際の入試では、「円Oが1周まわって元の位置にもどるまで、何回転しますか。」というふうに聞かれます

やまだ先生
やまだ先生

えっ、何か難しそう…

つむぎママ
つむぎママ

慣れない人には難しいですけど、一度理解してしまえば簡単ですよ。下の動画で理解してくださいね。

やまだ先生
やまだ先生

分かった、やってみるわ。

つむぎママ
つむぎママ

予習シリーズ算数 小5前期 多角形・円の回転・転がり移動 まとめ動画

前回と今回で、図形の回転・転がり運動を見てきました。復習として、まとめ動画を用意しましたので、ぜひご覧ください。

やまだ先生
やまだ先生


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    山田正(やまだ・ただし)
    山田正(やまだ・ただし)
    中学受験プロ講師・30年以上やってます
    YouTube「クイックラーニング」、学習塾「アカデミーワン」をやっています。中学受験で疑問や不安を抱えている方に、中学受験の本質にさかのぼって、ゆるぎない受験対策ができるようにお手伝いしています。
    【著書】「中学受験は親で決まる」(2008年)「優秀な子どもが中学受験で失敗する9の理由」(2010年)
    【AERA Kids取材】「9歳10歳の危機」(1012年夏号)、「学力の差は夏で決まる」(2013年秋号)
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